假设你看看上方的表白式：
你或者会想知道，不时加下去会获取怎么的结果。前面的数字不时变小，直到它可以疏忽不计。你或者想知道它能否依然对总和有奉献。
这个表白式被称为 " 和谐级数 "。N项和谐级数的值是1到N倒数的和。
前五项（N=5）是：
那么，前100项、前1000项、前100万项、前100亿项是多少？它们能否收敛于一个值？
让咱们来计算这些：
由此可见，和谐级数增长得十分慢，在10亿次之后，只能到达21.3004，之后增长速度越来越慢。它实践上须要：
15092688622113788323693563264538101449859497项能力超越100。那么，它最终会去哪里？它是 "停 "在某个详细的值上，还是继续增长？
让咱们看看其余级数能否会收敛到某个数值上。例如，让咱们看一下平方的倒数：
我且称它为 "平方级数"，它其实没有官网的名字。理想上，这个级数确实收敛，收敛到（π^2）/6（=1.644934）。
这被称为 " 巴塞尔疑问 "，它确立了莱昂哈德-欧拉在数学界的位置，由于他用十分繁复的方法处置了这个疑问。
你或者会对 "π"的出现感到惊讶。这里出现的π^2有很多 "要素"，没有繁多的答案。这更像是说水为什么是蓝色的。水首先不是蓝色的，天空是蓝色的，这自身与你自己的眼睛有很大相关，也与复杂的电磁力和其余物理学有很大相关。
归根结底，一切这些都与宇宙的真谛相咨询，但有几种方法可以将这些真谛连结成一个解释。基本上，一个 "有限长的线 "的疑问可以被转换为一个 "有限大的圆 "的疑问。 只管圆的长度和直径变得有限大，但它们的比率坚持不变：π。
“平方级数” ：
趋近于 "某数 "的要素是相当容易了解的，不须要借助于一些更复杂的力学。
咱们看看另一个级数：
其中分母依照1，2，6，12，20，......的顺序陈列，即：
并留意两个理想：
如今，只需消去这些项，你就会看到这个最终变成了2。
因此，经过结合上方的两个理想，你可以确定 "平方级数 "是比2小的正数。这象征着它（平方级数）收敛到比2小的数值上。
如今，让咱们在和谐级数上尝试雷同的方法。咱们先把它改写为：
括号内的每项都大于等于1/2。所以，整个级数比（1/2）n要大，当n无量大时，级数也是无量大的。
由于和谐级数以1/N的速度增长，这让人很容易想起人造对数函数，它也是以1/x的速度增长（这个速度随着x越来越大而不时减慢）。
人造对数函数示意e的几次幂能力获取x的函数。只管对数函数的增长速度十分慢，须要超越10^434项能力到达1000。但它确实是发散的。
和谐级数就像对数函数的一个的兄弟，只是把 "e "而不是 "10 "作为其指数。另外，让数字 "10 "出如今这里比数字 "π "或 "e "更疯狂。
如今，有三个对于和谐级数的奇异理想。
欧拉-马斯克若尼常数（The Euler-Mascheroni constant）
首先，看一下和谐级数和对数函数的图像。它们之间有一个差值，在无量远处，这个差异会变成一个特定的数字。
这个数字是欧拉-马斯克若尼常数，它是0.5772156649....
这个数字能否是在理数甚至是 逾越数 （逾越数的意思是，它能否可以成为某个触及x的幂的方程的解）， 这是数学中最悬而未决的谜团之一。 许少数学家以为，以咱们目前的条件，永远也处置不了这个疑问！
欧拉-马斯克若尼常数是一个相当不直观的数字，出如今许多结果中。它仿佛说明了人造数的“粒度”性，由于它们与实数的延续性相违反。
目前还不分明物理宇宙中一些更 "奇异 "的数字（例如精细结构常数）能否与之有某种相关，这或者会减轻物理学家的累赘，但对我来说，我宁愿宿愿它们有基本的咨询。
交变和谐级数
对于和谐数列的另一个奇异的理想是交变和谐级数。
相当奇异的是，这个级数确实收敛（到ln 2）。
这或者不直观，然而，假设你从新陈列这些级数项，实践上可以扭转结果。例如，假设改写：
为：
并计算出这个级数，总和也会是原来的一半。留意咱们没有剔除任何一项，只是从新陈列了它们。
理想上，有或者以这样的方式从新陈列交变和谐级数，可以用它的有限之和来示意任何数字。只是项的陈列最终会对最后的结果发生影响。
当触及到无量大时，不要置信你的直觉。
缺失的数字
假设你“剔除”和谐级数中出现的一些数字，就会出现一些意想不到的事情。让咱们来看看，假设咱们剔除一切分母中含有 "3 "的数字会出现什么：
咱们剔除了1/3和1/13这两个项，由于它们的分母中有一个 "3"。假设咱们计算这个级数的值， 会发如今这种状况下，这个级数确实收敛了。
理想上，假设咱们依照任何形式剔除数字（无论咱们剔除的数字中含有 "4"，还是含有 "5876846 "字符串的数字，任何形式），剔除足够多的数字，和谐级数将不再发散到无量大，而是很快收敛到十分小的数字。
我宿愿你能好好想想这个疑问：假设咱们把一切分母中有“989078748629”的数字都去掉（不论你能想到什么数字），剔除足够多的项，级数将不再趋于无量。
正如你所看到的，和谐级数的发散性是相当软弱的，有稍微的变化，级数就不再收敛。 因此，永远不要置信你自己的直觉！你的直觉是什么？
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和谐级数——人造真谛是如何暗藏在数字中的，永远不要置信直觉，马斯克，级数，无量大。
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